Category Archives: mathematics learning

วิธีคำนวนหาปีที่มีวันที่ 29 กุมภาพันธ์ : คณิตศาสตร์ไม่ยากอย่างที่คิด

วันที่ 29 กุมภาพันธ์ นับเป็นความพิเศษเพราะมีได้แค่ 4 ปีครั้ง และวันที่ 29 ก.พ.แห่งปี 2008 นี้ก็พิเศษเข้าไปอีก เพราะวันที่ 29 ก.พ.นี้ ตรงกับวันศุกร์ นับเป็นครั้งแรกใน 28 ปี
       
          เชื่อว่าถ้าใครมีความสามารถคลิกเข้ามานั่งอ่านบทความชิ้นนี้ คงต้องเคยผ่าน 29 กุมภาพันธ์มาแล้วอย่างน้อย 3-4 รอบ
       
          คุณรู้จัก “วันที่ 29 กุมภาพันธ์” ที่มา 4 ปีครั้งดีแค่ไหนลองทดสอบด้วยการตอบคำถามเหล่านี้ดู
       
          1. ลองไล่ดูว่าปีที่จะมีวันที่ 29 ก.พ.ในอีก 5 รอบหลังจาก 2008 นี้มีปีอะไรบ้าง?       
          2. ถ้าพจมานเกิดปี 1988 ดังนั้นวันที่ 29 กุมภาครั้งแรกของเธอ คือปีอะไร?       
          3. ปีไหนบ้างที่เดือนกุมภาพันธ์มี 29 วัน : 1900, 1972, 1956, 1946, 1992, 1886, 1420, 1600       
          4. ปีนี้วันที่ 1 ม.ค.ตรงกับวันอังคาร ส่วนปีที่แล้ว 1 ม.ค.ตรงกับวันจันทร์ และก่อนหน้านั้น (ปี 2006) วันที่ 1 ม.ค.ตรงกับวันอาทิตย์ ลองทายดูแบบไม่เปิดปฏิทินว่า 1 ม.ค.ปีหน้า (2009) และวันที่ 1 ม.ค.2013 ตรงกับวันอะไรบ้าง?       
          5. ปีปกติมี 365 วัน แต่ทุกๆ 4 ปีจะต้องเพิ่มขึ้นมาอีก 1 วันเพื่อให้สอดคล้องกับระยะเวลาที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ นั่นหมายความว่าโลกใช้เวลาโคจรรอบดวงอาทิตย์นานกว่า 365 วัน แท้จริงแล้วโลกใช้เวลานานแค่ไหนโคจรรอบดวงอาทิตย์?
       
          ดูเฉลยท้ายบทความ …
          แต่จะอ่านคำอธิบายในย่อหน้าถัดๆ ไปก่อนก็ไม่เกี่ยง !!
          เราจะหาว่าปีไหนบ้างที่มีเดือนกุมภาได้ 29 วัน มีกฎง่ายๆ คือ
       
          ปีคริสตศักราชที่หารด้วย 4 ลงตัว (อย่างปีนี้ 2008)
       
          แต่ 99% ของกฎในสากลโลกต้องมีข้อยกเว้น..
          นั่นก็คือ ปีที่หารด้วย 100 ลงตัวไม่ต้องเพิ่มวันที่ 29 เข้าไป
          (อย่างปี 1900 และ 1800 ก็หารด้วย 4 ลงตัวและหารด้วย 100 ลงตัว ดังนั้นจึงไม่ต้องเพิ่มวันที่ 29 ลงไป)
       
          แต่นั่นหาใช่สิ้นสุดไม่…
          เพราะมีข้อยกเว้นของข้อยกเว้นบอกอีกว่า… แม้จะผ่านด่านหารด้วย 4 และ 100 ลงตัวแล้วก็ตาม แต่ถ้าปีนั้นเกิดหารด้วย 400 ลงตัว ให้กลับไปใช้หลักการแรกสุด นั่นคือ เพิ่มวันที่ 29 เข้าไปด้วย
          (อย่างปี 2000 และ 1600 หาร 4 ลงตัว, หาร 100 ก็ลงตัว ทว่ายังหารด้วย 400 ลงตัว ดังนั้นจึงเพิ่มวันที่ 29 ได้)
       
          เรื่องนี้มีคำอธิบาย…
       
          จากหลักการที่ว่า โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ 1 รอบกินเวลา 365.25224 วัน หรือ 365 กับอีก ¼ วัน ซึ่งปีปกติที่มี 365 วันก็จะทำให้เวลาขาดไป ¼ วัน ดังนั้นจึงต้องทดไว้ เมื่อทดครบ 4 ปีก็จะได้เท่ากับ 1 วันพอดี จึงทำให้ต้องเพิ่ม 1 ปีมี 366 วันในทุกๆ 4 ปี
       
          ปีที่มีวันเพิ่มมานั้นเราเรียกกันว่า “อธิกสุรทิน” ซึ่งแปลว่า “วันเกิน” ขณะที่ฝรั่งใช้คำว่า “ลีป” (leap) ที่หมายถึงการกระโดดหรือข้าม (ซึ่งเรียกกันทั้ง ลีปเดย์-leap day ที่หมายถึงวันที่ 29 ก.พ. หรือ ลีปเยียร์-leap year ที่หมายถึงปีที่มีวันที่ 29 ก.พ.) และสัญญลักษณ์แห่งปีกระโดดที่พวกเขาใช้คือ “กบ”
          คราวนี้ถ้าทุกๆ 4 ปีมีวันเกินมา 1 วัน เมื่อถึง 400 ปีหรือครบ 100 รอบจะมีวันเกินไปอีก 3.104 วัน (เพราะ อีก 1 วันในทุกๆ 4 ปีเป็นเวลาโดยประมาณ) ดังนั้นในรอบทุกๆ 400 ปีจะต้องลดวันลงไป 3 วัน ก็เลยกำหนดให้ปีที่ครบร้อยแต่หาร 400 ไม่ลงตัว ไม่ต้องเพิ่มวันตามข้อยกเว้นที่กล่าวมา จึงจะเป็นการนับวันเวลาได้ใกล้เคียงกับวัฎจักรโลกและดวงอาทิตย์มากที่สุด
          อย่างไรก็ดี ด้วยหลักการนี้เมื่อครบรอบ 10,000 ปี วันในปฏิทินจะผิดจากความเป็นจริงไปอีก 3 วัน แต่อีกตั้งหมื่นปี…ปัญหานี้เลยค่อยคิด !!
       
          ข้อสังเกตที่น่าสนใจ
       
          ปกติแล้ววันเริ่มปี หรือวันที่ 1 มกราคมของทุกปี จะตกในวันไล่ติดกันไปในสัปดาห์ แต่ละปี อย่าง 1 ม.ค.ปีที่แล้วตรงกับวันจันทร์ ส่วน 1 ม.ค.ปีนี้ตรงกับวันอังคาร ซึ่งวัฎจักรปกติแล้ว 1 ม.ค.2009 จะต้องตรงกับวันพุธ
       
          ทว่าวันที่ 1 ม.ค.ปีหน้ากลับตรงกับวันพฤหัสบดี เพราะวันที่ 29 ก.พ.ทำหน้าที่ขโมยซีนไปเสียแล้ว
       
          ดังนั้นการเริ่มต้นปีที่จะเรียงกันไปนั้น หากเป็นปีอธิกสุรทินมาคั่น วันเริ่มต้นของปีถัดไปก็จะเลื่อนไปอีก 1 วัน ตามตัวอย่าง
       
          1 มกราคม 2000 ตรงกับ วันเสาร์ (ปีอธิกสุรทิน)
          1 มกราคม 2001 ตรงกับ วันจันทร์
          1 มกราคม 2002 ตรงกับ วันอังคาร
          1 มกราคม 2003 ตรงกับ วันพุธ
          1 มกราคม 2004 ตรงกับ วันพฤหัสบดี (ปีอธิกสุรทิน)
          1 มกราคม 2005 ตรงกับ วันเสาร์
          1 มกราคม 2006 ตรงกับ วันอาทิตย์
          1 มกราคม 2007 ตรงกับ วันจันทร์
       
           เหล่านี้…คือกติกาและข้อสังเกตของการมีหรือไม่มีวันที่ 29 กุมภาพันธ์ในแต่ละครั้ง

ที่มา :  http://blog.eduzones.com/dena/3521

Advertisements

ประวัติของปฏิทิน (1)

  ปัจจุบันเราทุกคนรู้ดีว่า ปฏิทินมีประโยชน์มากเพียงใดในการบอกเวลาของวัน เดือน และปี ซึ่งเป็นเรื่องจำเป็นในการทำธุรกิจ การว่าจ้าง การกู้ยืม การเฉลิมฉลองเหตุการณ์สำคัญๆ ทางศาสนา ฯลฯ แต่ในสมัยโบราณ ซึ่งเป็นเวลาที่ผู้คนยังไม่มีปฏิทินใช้ การตอบคำถามเกี่ยวกับวัน เดือน และปี มิได้เป็นเรื่องง่ายเลย เพราะผู้คนใช้วิธีการนับสัปดาห์ เดือน และปีแตกต่างกัน
      
       คำปฏิทินในภาษาไทยตรงกับคำ calendar ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำ calends ในภาษาโรมันที่แปลว่า วันแรกของเดือน การศึกษาประวัติความเป็นมาของปฏิทินทำให้เราทุกวันนี้รู้ว่ามนุษย์ในสมัยโบราณใช้ดวงจันทร์ ดวงอาทิตย์ ปรากฏการณ์น้ำหลาก ดาว ฯลฯ ในการกำหนดวัน เดือน และปี เช่น นับระยะเวลาที่เห็นดวงอาทิตย์ขึ้นในแต่ละครั้งว่านาน 1 วัน และให้ถือว่า 1 เดือนคือ เวลาที่ดวงจันทร์ใช้ในการโคจรรอบโลก 1 ครั้ง และ 1 ปีคือเวลาที่โลกใช้ในการโคจรรอบดวงอาทิตย์ 1 ครั้ง เป็นต้น
      
       การมีชีวิตอยู่ในสถานที่ที่แตกต่างกัน และมีวัฒนธรรมความเชื่อที่ไม่เหมือนกัน ทำให้คนโบราณในหลายประเทศต่างก็มีปฏิทินของตนเองใช้ เช่น ปฏิทิน Aztec, Islam, Persia, Egypt, Bahai, Hebrew, Maya, French, Chinese, Gregory และ Julian เป็นต้น ซึ่งปฏิทินเหล่านี้มีจำนวนวันในแต่ละเดือน และจำนวนเดือนในแต่ละปีแตกต่างกัน เช่น ชาว Sumerian ที่เคยอาศัยอยู่ใน Mesopotamia เมื่อ 5,500 ปีก่อน ได้กำหนดให้วันขึ้น 1 ค่ำ เป็นวันแรกของเดือน ให้ 1 เดือนนาน 29.5 วัน และให้ 1 ปีมี 12 เดือน ดังนั้น เวลา 1 ปีในปฏิทิน Sumerian จึงนาน 12×29.5 = 354 วัน (เวลาที่โลกใช้ในการโคจรรอบดวงอาทิตย์จริงๆ = 365.242199 วัน) ซึ่งทำให้ฤดูต่างๆ มาถึงเร็วกว่าที่ควรประมาณ 365-354 = 11 วัน ดังนั้น ปราชญ์ Sumerian จึงกำหนดเพิ่มเติมว่า หลังจากที่ใช้ปฏิทิน 3 ปี (เวลาเร็วไป 3×11 = 33 วัน) ให้เพิ่มเดือนพิเศษขึ้นมา 1 เดือน เพื่อให้ฤดูต่างๆ เริ่มตรงเวลา
      
       ส่วนปฏิทินอิสลามนั้น ก็ได้กำหนดให้ 1 ปีมี 12 เดือน และเพราะนักดาราศาสตร์ชาวอาหรับรู้ว่า ดวงจันทร์ใช้เวลาในการโคจรรอบโลกนาน 29.5 วัน ดังนั้น ปฏิทินอิสลามจึงให้ 1 เดือน มี 29 วันบ้าง และ 30 วันสลับกันไป ด้วยเหตุนี้ 1 ปีจึงมี 12×29.5 = 354 วัน ซึ่งก็ไม่ตรงกับเวลา 365 วันที่ควรจะเป็น และไม่ต้องการจะให้เดือนหนึ่งๆ มีเวลามากกว่า 30 วัน ดังปฏิทิน Sumerian ปฏิทินอิสลามจึงกำหนดว่า เมื่อสิ้นปีที่ 3, 6, 8, 11, 14, 17 และ 19 ปฏิทินจะมีเดือนพิเศษขึ้นมา 1 เดือน ด้วยเหตุนี้ เวลา 1 ปีในปฏิทินอาหรับจึงอาจมี 354, 355, 383, 384 หรือ 385 วันก็ได้ นอกจากนี้ในการนับปีปฏิทินอาหรับได้กำหนดให้เริ่มนับจากวันที่ 16 กรกฎาคม พ.ศ. 1165 ซึ่งเป็นวันที่ศาสดา Mohammed เสด็จจากเมือง Mecca ไป Medina ส่วนคนยิวเริ่มนับปีจากวันที่พระเจ้าทรงสร้างโลก (วันที่ 6 ตุลาคม ก่อน พ.ศ. 3218 ปี) และคนฮินดูเริ่มนับปีจากวันที่พระพรหมประสูติ เป็นต้น
      
       คนจีนโบราณก็มีปฏิทินใช้เช่นกัน ประวัติศาสตร์ได้จารึกว่า เมื่อ 3,000 ปีก่อนนี้ จักรพรรดิ Yao ทรงโปรดให้โหรหลวงสร้างปฏิทิน โดยกำหนดให้ 1 ปีมี 354 วัน ซึ่งสอดคล้องกับเวลาทางจันทรคติคือ เวลาที่ดวงจันทร์ใช้ในการโคจรรอบโลก (12×29.5) และไม่ใช้เวลาทางสุริยคติ ซึ่งเป็นเวลาที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ (365) เลย โหรหลวงจึงกำหนดว่าทุก 19 ปีที่ใช้ปฏิทินจีนให้เพิ่มเดือนพิเศษอีก 7 เดือน แล้วจึงเริ่มปีต่อไป

ปฏิทิน Aztec


       และสำหรับคนมายา ซึ่งมีความรู้ดาราศาสตร์ค่อนข้างสูง ปฏิทินมายาได้กำหนดให้ 1 ปี มี 18 เดือน และ 1 เดือนมี 20 วัน ดังนั้น 1 ปีในปฏิทินมายาจึงมี 18×20 = 360 วัน และเพราะเดือนทุกเดือนนานเท่ากัน ดังนั้น ชาวมายาจึงตั้งชื่อเดือนทุกเดือน และวันทุกวันของปี นอกจากนี้ก็ได้เพิ่มวันพิเศษที่ไม่เป็นของเดือนใดๆ อีก 5 วันทุกปีไป
      
       ส่วนชาวอียิปต์ ซึ่งตั้งถิ่นฐานในบริเวณแม่น้ำไนล์ และมีอาชีพเกษตรกรรมได้สังเกตเห็นว่า เมื่อครบปีน้ำในแม่น้ำไนล์จะท่วมฝั่งนำโคลนและปุ๋ยมาทับถมที่ดินทำนา เหตุการณ์น้ำท่วมที่เป็นวัฏจักรประจำปีเช่นนี้ ทำให้ชาวอียิปต์เมื่อ 6,240 ปีก่อนแบ่งปีออกเป็นฤดูคือ ฤดูน้ำท่วม ฤดูใบไม้ผลิ และฤดูเก็บเกี่ยว และให้ 1 ปีมี 12 เดือน 1 เดือนมี 30 วันเท่ากันทุกเดือน ปฏิทินอียิปต์จึงต้องเพิ่มวันพิเศษอีก 5 วันในทุกปี
      
       เมื่อถึงยุคโรมันเรืองอำนาจ เมื่อ 2,800 ปีก่อน ปฏิทินโรมันได้กำหนดให้ 1 ปีมี 10 เดือน โดยให้เดือนหนึ่งๆ มี 36 วัน หรือ 37 วัน เพื่อให้ปีหนึ่งมี 365 วัน และกษัตริย์ Numa Pomplius ทรงให้เดือนแรกของปีชื่อ Martius และเดือนที่สิบชื่อ December อีกทั้งให้วันขึ้นปีใหม่คือวันที่ 1 มีนาคมของทุกปี และทรงกำหนดเกณฑ์ใหม่ว่า เดือนหนึ่งๆ จะต้องมีวันไม่เกิน 31 วัน ดังนั้น จึงทรงกำหนดให้เดือนมีนาคม กรกฎาคม และตุลาคมมี 31 วัน ส่วนเดือนที่เหลือมี 29 วัน และเพราะจำนวนวันใน 1 ปียังไม่ครบ 365 วัน จึงกำหนดให้มีเดือนพิเศษอีก 2 เดือนคือ Januarius กับ Februarius ในขณะฤดูหนาวก่อนเดือน Martius ซึ่งเป็นช่วงเวลาพักผ่อนที่ผู้คนไม่ทำกิจกรรมใดๆ
      
       การสร้างปฏิทินที่ค่อนข้างจะไร้หลักการนี้ ทำให้วันเฉลิมฉลองเทศกาลทางศาสนา เช่นวันอีสเตอร์บางปีตรงกับวันในฤดูร้อน แทนที่จะเป็นวันแรกของฤดูใบไม้ผลิ และเมื่อความคลาดเคลื่อนมีมากขึ้นๆ จักรพรรดิ Caesar จึงทรงมีบัญชาให้นักดาราศาสตร์ประจำราชสำนักชื่อ Sosigenes แห่งเมือง Alexandria สร้างปฏิทินใหม่ในปี พ.ศ. 498 โดยให้เลิกพิจารณาเวลาโคจรของดวงจันทร์ในการทำปฏิทิน และกำหนดเวลามั่นเหมาะใหม่ว่า 1 ปีต้องมี 12 เดือน และ 1 เดือนต้องมี 30 หรือ 31 วัน ส่วนเดือนกุมภาพันธ์นั้นให้มีเพียง 28 วัน เพราะถ้าเปลี่ยนแปลงใดๆ เทพเจ้าประจำเดือนซึ่งก็คือ ยมบาลอาจพิโรธได้ นอกจากนี้ก็ได้ทรงกำหนดใหม่ให้เดือนแรกของปีที่ชื่อ Januarius มี 31 วัน Februarius มี 28 วัน Martius มี 31 วัน Aprilis มี 30 วัน Maius มี 31 วัน Junius มี 30 วัน Quintilis มี 31 วัน Sextilis มี 30 วัน September มี 31 วัน October มี 30 วัน November มี 31 วัน และ December มี 30 วัน และให้ทุก 4 ปีมีการเพิ่มวันอีก 1 วันในเดือน Februarius นอกจากนี้ Caesar ยังทรงกำหนดให้วันที่ 1 มกราคมของทุกปี เป็นวันปีใหม่ ซึ่งมีผลทำให้เดือน December ซึ่งเคยเป็นเดือนที่ 10 ของปี (deci แปลว่า สิบ) กลายเป็นเดือนที่ 12 เดือน November (nove แปลว่า เก้า) กลายเป็นเดือนที่ 11 เดือน October (Octo แปลว่า แปด) กลายเป็นเดือนที่ 10 และ September (septa แปลว่า เจ็ด) กลายเป็นเดือนที่ 9 แทนตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา และเมื่อ Caesar ถูกปลงพระชนม์ ชาวโรมันได้เปลี่ยนชื่อเดือน Quintilis (quinta แปลว่า ห้า) เป็น Julius เพื่อเป็นเกียรติแด่องค์จักรพรรดิ Julius Caesar ของตน และ Julius นี้ได้กลายรูปเป็น July ในเวลาต่อมา
      
       ปฏิทิน Julian ได้เริ่มใช้เป็นครั้งแรกเมื่อวันที่ 1 มกราคม พ.ศ. 498 และในปฏิทินนั้น วันที่ 25 มีนาคม คือวันเริ่มฤดูใบไม้ผลิ การล้มล้างปฏิทินเดิม การกำหนดกฎเกณฑ์การนับวัน เดือนใหม่ทำให้คนโรมันสมัยนั้นงุนงง และสับสนมาก เช่น การให้เดือนกุมภาพันธ์มี 28 วัน หรือ 29 วันก็ได้ และแทนที่จะให้มี 29 วันในทุก 4 ปี คนโรมันคิดว่าให้มี 29 วันในทุก 3 ปี การเข้าใจผิดในประเด็นนี้เป็นเวลานาน 50 ปี ทำให้วันเฉลิมฉลองเทศกาลต่างๆ ทางศาสนาไม่ตรงฤดูที่ควรเป็นมากขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้น จักรพรรดิ Augustus จึงทรงมีบัญชาให้มีการปฏิรูปปฏิทินอีก และให้เปลี่ยนชื่อเดือนที่หกจาก Sextilis (sext แปลว่า หก) เป็น Augustus ซึ่งได้กลายเป็น August ในเวลาต่อมา และให้เดือน Augustus มี 31 วันเท่าเดือน Julius ของ Caesar เพื่อแสดงว่าพระองค์ทรงมีพระบารมียิ่งใหญ่เทียบเท่า Caesar และเมื่อเดือน Julius Augustus และ September ทั้ง 3 เดือนเรียงกันต่างก็มี 31 วัน ซึ่งทำให้ทุกคน (ที่คอยรับเงินเดือน) รู้สึกว่ายาวนาน พระองค์จึงทรงกำหนดใหม่ให้ลดวันใน September เหลือ 30 วัน October มี 31 วัน November มี 30 วัน และ December 31 วันสลับกันระหว่าง 30 กับ 31 วัน ดังนั้น
       ปฏิทินฉบับแก้ไขจึงมีเพียง Julius กับ Augustus และ December กับ Januarius ซึ่งเป็นสองเดือนติดกันเท่านั้นที่มี 31 วัน
      
       เพราะ 1 ปีในปฏิทิน Julian มี 365 วัน แต่เวลา 1 ปีที่โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์นาน 365.242199 วัน ดังนั้น เวลา 1 ปีในปฏิทินจึงแตกต่างจากความเป็นจริงประมาณ 11 นาทีทุกปี นั่นหมายความว่า เมื่อเวลาผ่านไป 128 ปี เวลาก็จะแตกต่างไป 128×11 = 1,408 นาที = 23.47 ชั่วโมง หรือประมาณ 1 วัน และถ้าเวลาผ่านไปนาน 1,600 ปี เวลาก็จะผิดไปถึง 2 สัปดาห์ ซึ่งจะทำให้ผู้คนในอนาคตวุ่นวาย ดังนั้น เมื่อสันตะปาปา Gregory ที่ 13 พบว่าปฏิทิน Julian กำหนดให้วันอีสเตอร์ปี พ.ศ. 2125 ตรงกับวันที่ 11 มีนาคม แทนที่จะเป็นวันที่ 21 มีนาคม
      
       พระองค์จึงมีบัญชาให้ปฏิรูปปฏิทินอีกในวันที่ 24 กุมภาพันธ์ 2125 โดยได้กำหนดใหม่ว่าในเวลา 400 ปี ปฏิทินจะต้องมีปีอธิกสุรทิน 97 ครั้ง (ไม่ใช่ 100 ครั้ง) คือถ้าปีคริสต์ศักราชใดหารด้วย 4 ลงตัว ปีนั้นมี 366 วัน แต่ปีที่ครบคริสต์ศตวรรษใดเช่น 1700 1800 1900 ก็ให้มีเพียง 365 วัน ส่วนปี ค.ศ. 2000 นั้นให้มี 366 วัน ในเวลาต่อมา เมื่อนักดาราศาสตร์ชื่อ Christopher Clavius ตรวจพบว่า ปฏิทินในอดีตที่เคยใช้กันมานั้นผิดพลาด เขาจึงรายงานต่อสันตะปาปา สันตะปาปาจึงทรงกำหนดให้ลบวันที่ 5-14 ตุลาคม พ.ศ. 2125 ออกจากปฏิทินปีนั้น การลบวันที่ออกจากปฏิทินทำให้คนคริสเตียนนิกายโปรเตสแตนต์หลายคนไม่พอใจ เพราะรู้สึกว่าตนถูกทำให้มีอายุมากกว่าความเป็นจริงถึง 11 วัน แต่ชาวคริสเตียนนิกายคาทอลิกส่วนใหญ่พอใจ ดังนั้น ปี พ.ศ. 2125 จึงเป็นปีแรกของการใช้ปฏิทิน Gregory

ที่มา : http://blog.eduzones.com/dena/3524

mathematics amazing

History of Mathematics

เห็นคลิปดีๆจาก YOUTUBE.COM เลยนำมาฝากกันค่ะ

ขอบคุณyoutube.com  :websiteดีๆที่ทำให้เราได้รู้เรื่องราวดีๆมากมายนะคะ

the beauty of mathematics

ขอบคุณ youtube.com สำหรับเรื่องราวดีๆมากมายนะคะ